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Conduzione attraverso una parete piana
Temperature e calcolo della potenza termica
Potenziale termico - Regime stazionario permanente e non permanente - Condizioni al contorno
Si consideri una parete piana, di spessore s.
Applicando l'equazione di Fourier ed integrando tra le due superfici interna ed esterna otteniamo:
Potenza termica scambiata in regime stazionario permanente
Se il flusso di calore avviene in regime stazionario permanente, considerando costanti k e A possiamo scrivere:
Integrando si ottiene:
ossia:
ove ΔT rappresenta la differenza tra la temperatura "calda” e la temperatura “fredda”.
Risulta interessante porre la precedente equazione nella seguente forma:
ove, posto s/kA=Rcd si ottiene
Questa equazione esprime la quantità di calore che si propaga per conduzione attraverso una parete piana in seguito alla differenza di temperatura esistente tra le sue facce: il primo membro rappresenta il potenziale termico che provoca il flusso di calore q e Rcd indica la resistenza opposta dal materiale a detto flusso di calore. Questa equazione è formalmente analoga alla legge di Ohm valida per i circuiti elettrici in corrente continua.
Potenza termica in regime stazionario non permanente
Poichè la conducibilità termica in realtà è funzione della temperatura, l'integrazione dell'equazione di Fourier applicata ad un caso reale va eseguita in modo diverso.
Supponendo che la conducibilità dipenda linearmente dalla temperatura, allora si può scrivere:
In regime stazionario è possibile procedere facilmente all'integrazione.
Dopo aver riconosciuto il prodotto notevole somma per differenza, fatte alcune semplificazioni, si giunge dopo facili passaggi alla seguente
espressione:
dove Tm rappresenta il valore medio (semisomma) tra la temperatura della parete calda TC e quella della temperatura fredda
TF.
Detta km la conducibilità media attraverso la parete si giunge all'espressione:
Per piccoli intervalli di temperatura, quindi, la potenza termica scambiata per conduzione dipende dalla conducibilità media km della parete che a sua volta è funzione della temperatura media dello spessore, intesa come semisomma della temperatura della superficie calda e della temperatura della superficie fredda.
Come varia la temperatura nella parete in seguito alla conduzione
Per avere un’espressione analitica dell’andamento della temperatura all’interno dello spessore s della parete è sufficiente calcolare il seguente integrale
Ricordando l'equazione
si ottiene
Le condizioni al contorno per l’equazione sono:
parete calda: x=0 ; T=TC
parete fredda: x=s ; T=TF
Nell'igloo di Fred trovi anche
