Conduzione attraverso una parete piana

Temperature e calcolo della potenza termica

Potenziale termico - Regime stazionario permanente e non permanente - Condizioni al contorno


Si consideri una parete piana, di spessore s.

Applicando l'equazione di Fourier ed integrando tra le due superfici interna ed esterna otteniamo:

Equazione 2


Potenza termica scambiata in regime stazionario permanente

Se il flusso di calore avviene in regime stazionario permanente, considerando costanti k e A possiamo scrivere:

Equazione 3


Integrando si ottiene:

Equazione 4

ossia:

Equazione 5


ove ΔT rappresenta la differenza tra la temperatura "calda” e la temperatura “fredda”.

Risulta interessante porre la precedente equazione nella seguente forma:

Equazione 6


ove, posto s/kA=Rcd si ottiene

Equazione 8

Questa equazione esprime la quantità di calore che si propaga per conduzione attraverso una parete piana in seguito alla differenza di temperatura esistente tra le sue facce: il primo membro rappresenta il potenziale termico che provoca il flusso di calore q e Rcd indica la resistenza opposta dal materiale a detto flusso di calore. Questa equazione è formalmente analoga alla legge di Ohm valida per i circuiti elettrici in corrente continua.

Potenza termica in regime stazionario non permanente

Poichè la conducibilità termica in realtà è funzione della temperatura, l'integrazione dell'equazione di Fourier applicata ad un caso reale va eseguita in modo diverso.

Supponendo che la conducibilità dipenda linearmente dalla temperatura, allora si può scrivere:

Equazione_12


In regime stazionario è possibile procedere facilmente all'integrazione.
Dopo aver riconosciuto il prodotto notevole somma per differenza, fatte alcune semplificazioni, si giunge dopo facili passaggi alla seguente espressione:

Equazione_13


dove Tm rappresenta il valore medio (semisomma) tra la temperatura della parete calda TC e quella della temperatura fredda TF.
Detta km la conducibilità media attraverso la parete si giunge all'espressione:

Equazione_14


Per piccoli intervalli di temperatura, quindi, la potenza termica scambiata per conduzione dipende dalla conducibilità media km della parete che a sua volta è funzione della temperatura media dello spessore, intesa come semisomma della temperatura della superficie calda e della temperatura della superficie fredda.

Come varia la temperatura nella parete in seguito alla conduzione

Per avere un’espressione analitica dell’andamento della temperatura all’interno dello spessore s della parete è sufficiente calcolare il seguente integrale

Equazione 8


Ricordando l'equazione

Equazione 5


si ottiene

Equazione 9


Le condizioni al contorno per l’equazione sono:
parete calda: x=0 ; T=TC
parete fredda: x=s ; T=TF

Andamento temperatura parete piana

L’andamento della temperatura all’interno dello spessore s è di tipo lineare con coefficiente angolare negativo dipendente dallo spessore della parete e dalla differenza di temperatura tra le due facce.


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Conduzione attraverso una parete piana
ID pagina: 380-S060
Data creazione: 14/05/2002
Ultimo aggiornamento: 29/06/2020
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