Conduzione attraverso una parete piana

Temperature e calcolo della potenza termica nel fenomeno della conduzione

Potenziale termico - Regime stazionario permanente e non permanente - Condizioni al contorno


Si consideri una parete piana, di spessore s. Ci proponamo di calcolare la quantità di calore (e quindi la potenza termica) che si trasmette per conduzione attraverso di essa a seguito della differenza di temperatura esistente tra le sue due facce opposte.

Applicando l'equazione di Fourier ed integrando tra le due superfici interna ed esterna otteniamo:

Equazione 2


Potenza termica scambiata in regime stazionario permanente

Per calcolare la potenza termica scambiata, supponiamo che il flusso di calore avvenga in regime stazionario permanente, considerando costanti la conducibilità termica k e la superficie A possiamo scrivere:

Equazione 3


Integrando si ottiene:

Equazione 4

ossia:

Equazione 5


ove ΔT rappresenta la differenza tra la temperatura "calda” e la temperatura “fredda”.

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Teoria cinetica della temperatura

Risulta interessante porre la precedente equazione nella seguente forma:

Equazione 6


ove, posto s/kA=Rcd si ottiene

Equazione 8

Questa equazione esprime la quantità di calore che si propaga per conduzione attraverso una parete piana in seguito alla differenza di temperatura esistente tra le sue facce: il primo membro rappresenta il potenziale termico che provoca il flusso di calore q e Rcd indica la resistenza opposta dal materiale a detto flusso di calore.

Questa equazione è formalmente analoga alla legge di Ohm valida per i circuiti elettrici in corrente continua.

Potenza termica in regime stazionario non permanente

Poichè la conducibilità termica in realtà è funzione della temperatura, l'integrazione dell'equazione di Fourier applicata ad un caso reale va eseguita in modo diverso.

Supponendo che la conducibilità dipenda linearmente dalla temperatura, allora si può scrivere:

Equazione_12


In regime stazionario è possibile procedere facilmente all'integrazione.
Dopo aver riconosciuto il prodotto notevole somma per differenza, fatte alcune semplificazioni, si giunge dopo facili passaggi alla seguente espressione:

Equazione_13


dove Tm rappresenta il valore medio (semisomma) tra la temperatura della parete calda TC e quella della temperatura fredda TF.
Detta km la conducibilità media attraverso la parete si giunge all'espressione:

Equazione_14


Per piccoli intervalli di temperatura, quindi, la potenza termica scambiata per conduzione dipende dalla conducibilità media km della parete che a sua volta è funzione della temperatura media dello spessore, intesa come semisomma della temperatura della superficie calda e della temperatura della superficie fredda.

Come varia la temperatura nella parete in seguito alla conduzione

Per avere un’espressione analitica dell’andamento della temperatura all’interno dello spessore s della parete è sufficiente calcolare il seguente integrale

Equazione 8


Ricordando l'equazione

Equazione 5


si ottiene

Equazione 9


Le condizioni al contorno per l’equazione sono:
parete calda: x=0 ; T=TC
parete fredda: x=s ; T=TF

temperatura

L’andamento della temperatura all’interno dello spessore s è di tipo lineare con coefficiente angolare negativo dipendente dallo spessore della parete e dalla differenza di temperatura tra le due facce.
L'energia termica scambiata è di tipo sensibile e si esprime in joule, oppure in watt se ci riferiamo all'energia nell'unità di tempo



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Conduzione attraverso una parete piana

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Ultimo aggiornamento: 03/06/2024
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